| 0,0 → 1,106 |
|---|
| \documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article} |
| |
| \usepackage[czech]{babel} |
| \usepackage[pdftex]{graphicx} |
| \usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce |
| \usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8 |
| \usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů |
| \usepackage{rotating} |
| |
| \begin{document} |
| |
| \section*{Řešení 8. zadané úlohy - Jakub Kákona} |
| |
| \begin{enumerate} |
| |
| \item |
| |
| \begin{enumerate} |
| \item |
| |
| Pro ověření minimální realizace si vytvoříme duální systém |
| |
| \begin{equation} |
| \tilde{A} = A^T = |
| \left[ \begin{array}{cccc} |
| 0 & 0 & 0 & -1 \\ |
| 1 & 0 & 0 & -4 \\ |
| 0 & 1 & 0 & -6 \\ |
| 0 & 0 & 1 & -4 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| \begin{equation} |
| \tilde{B} = C^T = |
| \left[ \begin{array}{c} |
| c_1 \\ |
| c_2 \\ |
| 1 \\ |
| 0 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| \begin{equation} |
| \tilde{C} = B^T = |
| \left[ \begin{array}{cccc} |
| 0 & 0 & 0 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Minimálnost realizace pak prověříme z duálního systému zjištěním hodnosti matice řiditelnosti. |
| |
| \begin{equation} |
| C = \left[ \tilde{B}, \tilde{A} \tilde{B}, \tilde{A}^2 \tilde{B}, \tilde{A}^3 \tilde{B} \right] |
| \end{equation} |
| |
| \begin{equation} |
| C = |
| \left[ \begin{array}{cccc} |
| c_1 & c_2 & 1 & 0 \\ |
| c_2 & 1 & 0 & -c_1 - 4c_2 - 6 \\ |
| 1 & 0 & - c_1 - 4c_2 - 6 & 4c_1 + 15c_2 + 20 \\ |
| 0 & - c_1 - 4c_2 - 6 & 4c_1 + 15c_2 + 20 & - 10c_1 - 36c_2 - 45\\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Pro splnění požadavku na realizaci systému, které nebude minimální, by bylo třeba najít takové $c_1, c_2$, aby hodnost matice řiditelnosti nebyla úplná. |
| |
| \item |
| |
| Pokud do realizace systému dosadíme $c_1 = 2, c_2 = 3$ tak matice řiditelnosti bude mít plnou hodnost 4. |
| |
| Realizace systému se tedy chová jako minimální a není třeba provádět Kalmanovu dekompozici. |
| |
| \item |
| |
| Ano, je to možné. Realizace druhého řádu může ze systému vzniknout například ze dvou minimálních realizací. |
| |
| \end{enumerate} |
| |
| \item |
| |
| \begin{enumerate} |
| \item |
| |
| Určíme nejmenší společné jmenovatele jednotlivých sloupců. $(s+1)(s+2)$, $(s+1)(s+2)$ |
| Oba jsou řádu 2. Rad řiditelné realizace je součet jejich stupňů. Tedy 4. |
| |
| |
| Podobným způsobem určíme řád pozorovatelné realizace, ale hledáme společné jmenovatele jednotlivých řádků. $(s+1)$ a $(s+1)(s+2)$. Celkový řád pozorovatelné realizace je proto 3. |
| |
| \item |
| |
| Protože stupeň obou společných jmenovatelů je dva, tak snížíme řiditelnou realizaci o stupeň 2. A systém v takové realizaci pak nebude řiditelný. |
| |
| \item |
| |
| Sledováním systému pouze na jednom z výstupů opět snižujeme řád pozorovatelné realizace o stupeň 1 nebo 2. Systém proto přestane být pozorovatelný. |
| |
| \end{enumerate} |
| |
| \end{enumerate} |
| \end{document} |